A szúdoku lelkivilága


Nyilván sokan találkoztak már az ausztrál matematikus, Gordon Royle nevével, aki összegyűjtötte a mindössze 17 számot tartalmazó úgynevezett „minimum szúdokukat” (lásd: http://school.maths.uwa.edu.au/~gordon/sudokumin.php). A nyilvánosságra hozott, és honlapjáról letölthető 49151 szúdokut – ez elnevezéséből is látható – úgy tartja nyilván, mint a legkevesebb számot tartalmazó rejtvények, melyek között nincs egyikből a másikba tükrözéssel, forgatással, vagy egyéb formális átalakítással előállítható változat. Mivel 16 számot tartalmazó, egy megoldást adó rejtvényt még senki sem készített, elfogadott az az állítás, hogy ilyen rejtvény nincs, bár ezt matematikailag egzakt módon bebizonyítani még senkinek nem sikerült. Néhány leírásban, amelyek e rejtvényekkel foglalkoznak, az olvasható, hogy 17-es rejtvényt nehéz elkészíteni, és egytől egyig nehéz megfejteni őket.

Az állítás második felével szeretnék vitába szállni. Mert általában igaz ugyan, hogy ha sok számot adunk meg, akkor így könnyebb rejtvényeket kapunk, de az már nem igaz, hogy a megadott számok darabszáma és a rejtvény nehézségi foka között egyértelműen lineáris az összefüggés.

Ahhoz, hogy objektívan meghatározzuk a könnyű- és nehéz rejtvény fogalmát, némi kapaszkodóra van szükségünk. A kérdésről, a matematika nyelvezetében kicsit jártas olvasónak jó olvasmány lehet Dr. Makay Géza szegedi matematikus szúdokukról szóló rövid, de igen szemléletes összefoglalója (lásd: http://www.math.u-szeged.hu/Sudoku/sudoku.pdf).

Kevésbé matematikus módon megfogalmazva az alábbiak állapíthatók meg:

A legkönnyebb rejtvények olyanok, amelyekben a fejtés során mindig találunk legalább egy olyan következő helyet, ahová csak egyetlen szám írható, mert a helyhez tartozó sorban, oszlopban vagy blokkban (ez utóbbiak a rejtvény 3x3 elemből álló részei) a többi nyolc szám már előfordul (első módszer). Természetesen ezen belül is megkülönböztethetünk „könnyű és még könnyebb” rejtvényeket, attól függően, hogy egyidejűleg hány ilyen hely található menet közben. Nos, az ismert 17-es rejtvények között ilyen rejtvény egy sem akad, ami azért nem tekinthető meglepőnek. Ezzel szemben igencsak meglepő, hogy a következő nehézségi fokú – még mindig könnyűnek számító – rejtvényekből 21905 darab található, ami az összes rejtvénynek csaknem 45%-a. Ezek a rejtvények úgy fejthetők meg, hogy az előző módszer mellé még a következő, második módszert is alkalmazzuk: A fejtés során mindig található legalább egy következő olyan hely, ahová azért írható be egy szám, mert abban a sorban, oszlopban vagy blokkban az adott szám más helyre nem írható. Tehát mindössze e két szabály felhasználásával ezek a rejtvények végigfejthetők.

Nézzünk erre egy konkrét példát! Ezen belül is egy olyat választottam ki, amelynél a második szabályt elég kizárólag a sorokra nézni (vagyis az oszlopokat és a blokkokat figyelmen kívül hagyhatjuk):
71
38
29
15
28
541
62
83

A rejtvény fejtésének lehetséges menete az alábbi:
  1. 6(1,4);  2. 2(7,3);  3. 2(1,9);  4. 8(1,3);  5. 2(2,1);  6. 3(1,2);  7. 8(4,6);  8. 4(3,1);
  9. 9(9,1);10. 3(5,1);11. 7(7,2);12. 8(6,1);13. 9(1,7);14. 2(4,8);15. 3(7,5);16. 6(7,7);
17. 3(4,9);18. 3(8,3);19. 3(3,8);20. 3(6,6);21. 8(3,9);22. 2(6,4);23. 9(7,9);24. 7(9,4);
25. 1(3,4);26. 8(7,8);27. 5(8,6);28. 4(1,6);29. 9(5,4);30. 9(8,5);31. 6(9,5);32. 5(1,5);
33. 7(2,6);34. 8(8,4);35. 2(9,6);36. 6(5,6);37. 7(3,7);38. 4(4,7);39. 5(2,7);40. 7(4,5);
41. 1(6,7);42. 4(6,5);43. 1(5,5);44. 4(5,3);45. 1(9,3);46. 4(8,2);47. 7(8,8);48. 5(5,8);
49. 1(8,9);50. 7(5,9);51. 4(9,8);52. 6(2,8);53. 6(6,9);54. 5(9,9);55. 9(2,3);56. 4(2,9);
57. 9(6,8);58. 1(2,2);59. 6(4,3);60. 5(6,2);61. 6(3,2);62. 5(3,3);63. 9(4,2);64. 7(6,3).
A felsorolásban, lépésenként a lépés sorszáma, utána a beírható szám, majd zárójelben a sor és oszlop pozíciók találhatók. Az alapszínnel jelölt lépéseknél az első, a kék színnel jelölt lépéseknél pedig a második módszer alapján írható be a szám. Ezek szerint tehát: Az első lépésben az első sor negyedik helyére csak 6-os írható; a második lépésben a 2-es a hetedik sorban csak a harmadik helyre írható. És így tovább.

Ami ugyancsak érdekes, hogy az ennél nehezebb 17-es rejtvényeknek mindössze 15%-a (pontosan 7526 darab) olyan, amelyik a már említett Makay Géza által meghatározott, akár 100-ig is elmenő nehézségi fok-skálán a négyes fokot meghaladja. A négyes nehézségi fokú rejtvényről azt kell tudni, hogy az egy gyakorlott rejtvényfejtő számára minden segédeszköz, próbálgatás nélkül megfejthető. Viszont tény, hogy az átlagfejtőt egy ilyen rejtvény már igencsak megdolgoztatja. Hogy kipróbálhassa magát, álljon itt mintaként egy ilyen rejtvény:
21
49
73
123
58
6
26
64
3

Segítségül annyit teszek hozzá, hogy ebben a rejtvényben 28 számot lehet beírni a fent leírt két módszer alkalmazásával. Ezután viszont csak úgy tudunk továbblépni, ha felismerjük, hogy az egyik szám valamelyik sorban csak egyetlen blokkba kerülhet, és így ez a szám annak a blokknak a többi sorában már nem fordulhat elő (lásd: A Makay-féle leírásban a „Zárolt lehetőség”-et). Ha ezt alkalmazva kizárunk néhány lehetőséget, akkor innen kezdve a rejtvény végigfejthető már ismét csak az előzőekben ismertetett két módszer felhasználásával.

Amit a nyomtatott sajtóban és a Web-en megjelenő szúdokukról elmondhatunk: Azokban általában a legritkább esetben találkozhatunk nehéz rejtvénnyel. Amit ott nagyon nehéznek neveznek, többnyire az sem nehezebb a már említett négyes fokozatúnál. Sőt, pl. a Metró újság honlapján felkínált rejtvények esetében a legnehezebb, ott 5-ös fokozatúnak minősített rejtvények között – néhány rejtvényt megvizsgálva – kizárólag 0-s és nagyobb részt 1-es nehézségi fokú rejtvényeket találtam. Ennél komolyabb erőpróbát igénylő, és a tényleges nehézségi fokokat jobban demonstráló rejtvények találhatók a http://www.websudoku.com/ angol nyelvű honlapon, ahol az ingyen letölthető és fejthető rejtvények négy (könnyű, közepes, nehéz és ördögi) kategóriája közül választhat. De ugyanez az oldal a még ezzel sem elégedett fejtőknek – igaz már nem ingyen – az extrém kategóriát is felkínálja.

Végül engedjék meg, hogy a saját szerkesztésű http://szudoku.atw.hu/ honlapot is a figyelmükbe ajánljam, ahol az egyes rejtvényeknek öt különböző nehézségi fokozatú változata található. Az első a kezdőknek, az ötötdik, „igazán” nehéz változat csak a legelszántabbaknak ajánlott. A rejtvényekben ráadásul – egy kis további ízt adva azoknak – talál egy szöveges „rátétet” is. A rejtvényeket fejtheti a képernyőn, vagy ki is nyomtathatja, továbbá rejtvényenként rendelkezésére áll egy, a fejtést megkönnyítő Excel-program is.

Ha az Ön gépén megtalálható az Excel program, akkor fejtse ez utóbbi rejtvényt a fejtést megkönnyítő Excel-környezetben! Ehhez kattintson ide!
Amennyiben az Excel nem engedi a makrók letöltését, a következőképpen járjon el:
1. Nyissa meg az Excel programot;
2. Az „Eszközök” menüpontban a „Makrók”-ban kattintson a „Biztonság”-ra;
3. Itt állítsa a „Biztonsági szint”-et közepesre!
4. Ezután kattintson ismét honlapunk „ide” linkjére és engedélyezze a makrók használatát!
Ha jobban szereti a rejtvényt papíron fejteni, akkor ki is nyomtathatja magának. Ehhez kattintson a nyomtatás szóra! Az ekkor előjövő oldal alján található „nyomtatás” gomb megnyomásával kinyomtathatja a rejtvényt.


Szerkesztő:
Jobbágy Tibor
Kulcsszavak: sudoku, szudoku